Combien de nombres contient l'ensemble des nombres ?

Combien de nombres contient l'ensemble des nombres ? 1, 2, 3... ne les comptez pas, il y en a une infinité !

Zéro

Est-on bien sûr que zéro est la limite des petits nombres ? Vérifions. Qu'est-ce qui est plus petit que 1 ? 1/2. Plus petit que 1/2 ? 1/10, que 1/10 ? 1/100, 1/1 million... et à la limite, on arrivera à moins que tout, moins que n'importe quoi, moins que le plus petit de tous les nombres. Rien. Zéro. 0. Rien multiplié par n'importe quoi fait toujours rien. Vraiment ? Et zéro x l'infini ?? Bien malin qui pourrait donner le résultat. C'est une quantité indéfinie en mathématiques.

Les très grands nombres

Pour noter les très grands nombres, l’exponentielle est bien pratique : 23 = 2 x 2 x 2 (2 multiplié 3 fois), ou 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 (100 000, soit « 1 » suivi de 5 zéros).

Le Googol, de Edward Kasner est un 1 suivi de 100 zéros ! (un nombre plus grand que le nombre de particules dans l’univers (1080). Connaissez-vous le Googolplex ? Un 1 suivi de … googol zéros ! (Un ruban de papier de la taille de l’univers entier ne suffirait pas pour l’écrire).

Une notation efficace pour les très, très grands nombres : la notation de Knuth « ↑ »

  • 2 ↑ 3 = 8 = 2 x 2 x 2 (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par la multiplication)
  • 2 ↑ ↑ 3 = 16 = 2 ↑ (2 ↑ 2) (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par une simple flèche) = 2 ↑ 4
  • 2 ↑ ↑ ↑ 3 = 65 536 = 2 ↑ ↑ (2 ↑ ↑ 2) (le « 2 » apparaît 3 fois séparé par une double flèche flèche) = 2 ↑ 4
  • 3 ↑ ↑ ↑ 3 = ? Un nombre beaucoup, beaucoup plus grand que le Googolplex !
Publié le - Mis à jour le 29-03-2019

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